"Álgebra Booleana"
Las álgebras booleanas, estudiadas por primera vez en detalle por George Boole , constituyen un área de las matemáticas que ha pasado a ocupar un lugar prominente con el advenimiento de la computadora digital. Son usadas ampliamente en el diseño de circuitos de distribución y computadoras, y sus aplicaciones van en aumento en muchas otras áreas. En el nivel de lógica digital de una computadora, lo que comúnmente se llama hardware, y que está formado por los componentes electrónicos de la máquina, se trabaja con diferencias de tensión, las cuales generan funciones que son calculadas por los circuitos que forman el nivel. Éstas funciones, en la etapa de diseña del hardware, son interpretadas como funciones de boole.
cuando estamos construyendo los circuitos electrónicos con que implementar funciones booleanas, el problema de determinar una expresión mínima para una función es a menudo crucial. No resultan de la misma eficiencia en dinero y tiempo, principalmente, dos funciones las cuales calculan lo mismo pero donde una tiene menos variables y lo hace en menor tiempo. Como solución a este problema, se plantea un método de simplificación, que hace uso de unos diagramas especiales llamados mapas o diagramas de Karnaugh, y el cual tiene la limitación de poder trabajar adecuadamente sólo con pocas variables.
El álgebra booleana es un sistema matemático deductivo centrado en los valores cero y uno (falso y verdadero). Un operador binario " º " definido en éste juego de valores acepta un par de entradas y produce un solo valor booleano
Para cualquier sistema algebraico existen una serie de postulados iniciales, de aquí se pueden deducir reglas adicionales, teoremas y otras propiedades del sistema, el álgebra booleana a menudo emplea los siguientes postulados:
Cerrado. El sistema booleano se considera cerrado con respecto a un operador binario si para cada par de valores booleanos se produce un solo resultado booleano.
Conmutativo. Se dice que un operador binario " º " es conmutativo si A º B = B º A para todos los posibles valores de A y B.
Asociativo. Se dice que un operador binario " º " es asociativo si (A º B) º C = A º (B º C) para todos los valores booleanos A, B, y C.
Distributivo. Dos operadores binarios " º " y " % " son distributivos si A º (B % C) = (A º B) % (A º C) para todos los valores booleanos A, B, y C.
Identidad. Un valor booleano I se dice que es un elemento de identidad con respecto a un operador binario " º " si A º I = A.
Inverso. Un valor booleano I es un elemento inverso con respecto a un operador booleano " º " si A º I = B, y B es diferente de A, es decir, B es el valor opuesto de A.
El Álgebra Booleana, es el método que se utiliza para expresar las entradas y salidas de un circuito lógico. Las entradas se consideran variables lógicas cuyos niveles lógicos en cualquier momento determinan los niveles de salida.
A Las constantes y variables booleanas solo es posible tener dos valores 0 y 1. Las variables booleanas se emplean con frecuencia para representar el nivel de voltaje presente en un alambre o en las terminales de entrada y de salida de un circuito.Como solo dos valores son posibles el álgebra booleana resulta bastante sencilla de interpretar. Se dice que un voltaje digital en un circuito digital de encuentra en nivel lógico 0 ó en el 1, según su valor numérico real. En el álgebra booleana no hay fracciones, decimales, números negativos, raíces cuadradas, logaritmos, números imaginarios, etc. Es posible construir digitales llamados compuertas lógicas que con diodos, transistores y resistencias conectados de cierta manera hacen que la salida del circuito sea el resultado de una operación lógica básica (AND, OR, NOT) sobre la entrada.
TEOREMAS DEL ALGEBRA BOOLEANA
- Teorema 1: A + A = A
- Teorema 2: A · A = A
- Teorema 3: A + 0 = A
- Teorema 4: A · 1 = A
- Teorema 5: A · 0 = 0
- Teorema 6: A + 1 = 1
- Teorema 7: (A + B)' = A' · B'
- Teorema 8: (A · B)' = A' + B'
- Teorema 9: A + A · B = A
- Teorema 10: A · (A + B) = A
- Teorema 11: A + A'B = A + B
- Teorema 12: A' · (A + B') = A'B'
- Teorema 13: AB + AB' = A
- Teorema 14: (A' + B') · (A' + B) = A'
- Teorema 15: A + A' = 1
- Teorema 16: A · A' = 0
- Los teoremas siete y ocho son conocidos como Teoremas de DeMorgan en honor al matemático que los descubrió.
La relación que existe entre la lógica booleana y los sistemas de cómputo es fuerte, de hecho se da una relación uno a uno entre las funciones booleanas y los circuitos electrónicos de compuertas digitales. Para cada función booleana es posible diseñar un circuito electrónico y viceversa, como las funciones booleanas solo requieren de los operadores AND, OR y NOT podemos construir nuestros circuitos utilizando exclusivamente éstos operadores utilizando las compuertas lógicas homónimas
REGLAS PARA EVALUAR UNA EXPRESIÓN BOOLEANA
- Realice todas las conversiones de los términos individuales.
- Realice todas las operaciones que estén entre paréntesis.
- Realice una operación AND antes que una OR, a menos que haya parentesis que indique lo contrario.
- Si una expresión tiene una barra sobre ella o tilde, primero realice la operación dentro de la expresión y después invierta el resultado.
TABLAS DE VERDAD
Una tabla de verdad es una herramienta para describir la forma en que la salida de un circuito lógico depende de los niveles lógicos presentes en las entradas de circuito.
Es una tabla de las posibles convinaciones de las variables y muestran la relacion entre las mismas.
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